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一、一般状态空间描述

连续时间非线性系统：

\dot{x} = f(x, u, t), \qquad y = h(x, u, t)

无输入（自治）系统： $\dot{x} = f(x)$ ，其中 $x \in \mathbb{R}^n$ ， $u \in \mathbb{R}^m$ ， $y \in \mathbb{R}^p$ 。

保证解存在唯一的常用条件（Lipschitz 条件）：

\| f(x_1) - f(x_2) \| \leq L \| x_1 - x_2 \|

平衡点 $x_e$ （对应输入 $u_e$ ）满足

f(x_e, u_e) = 0

在该点附近作泰勒展开，令 $\delta x = x - x_e$ 、 $\delta u = u - u_e$ ：

A = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_e,u_e)}, \qquad B = \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{(x_e,u_e)}

\delta \dot{x} = A\,\delta x + B\,\delta u

线性化只能给出局部结论： $A$ 的所有特征值实部为负 → 渐近稳定；存在实部为正的特征值 → 不稳定；出现纯虚特征值（临界情形）时线性化失效，需用 Lyapunov 方法或中心流形理论判断。

设 $V(x)$ 在原点邻域内连续可微，

V(0) = 0, \qquad V(x) > 0 \quad (x \neq 0)

沿系统轨线的导数（即李导数）：

\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x} f(x) = L_f V(x)

$\dot{V}$ 的条件	结论
$\dot{V} \leq 0$	稳定（Lyapunov 意义下）
$\dot{V} < 0,\; x \neq 0$	渐近稳定
再加 $V$ 径向无界（ $\\|x\\| \to \infty \Rightarrow V \to \infty$ ）	全局渐近稳定

LaSalle 不变集原理（ $\dot{V}$ 只是半负定时使用）：

\dot{V} \leq 0,\quad \text{且 } \left\{ x \mid \dot{V}(x) = 0 \right\} \text{ 中的最大不变集只有原点} \;\Rightarrow\; \text{渐近稳定}

取 $V(x) = x^{\top} P x$ ， $P = P^{\top} > 0$ ，则为线性化系统 $\dot{x} = Ax$ 求解 Lyapunov 方程：

A^{\top} P + P A = -Q, \qquad Q > 0

此时 $\dot{V} = -x^{\top} Q x < 0$ ，常作为非线性系统的候选函数（构造法：Krasovskii、能量函数、变量梯度法）。

环节	数学描述
饱和	$\mathrm{sat}(u) = \mathrm{sgn}(u)\min\{\\|u\\|, u_{\max}\}$
死区	$u \in [-d, d] \Rightarrow y = 0$ ，否则 $y = u - d\,\mathrm{sgn}(u)$
继电（带滞环）	$y = M\,\mathrm{sgn}(e)$ ，切换点随方向偏移
间隙、干摩擦	多值、记忆型非线性
光滑限幅	$\tanh(k u)$ 、 $\dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}}$

描述函数法（谐波线性化）：输入正弦 $A\sin\omega t$ 时，

N(A) = \frac{Y_1 \angle \varphi_1}{A}

自激振荡（极限环）条件：

1 + N(A)\,G(j\omega) = 0 \;\Longleftrightarrow\; G(j\omega) = -\frac{1}{N(A)}

二阶自治系统写成

\dot{x}_1 = x_2, \qquad \dot{x}_2 = f(x_1, x_2)

消去时间得相轨迹方程

\frac{dx_2}{dx_1} = \frac{f(x_1,x_2)}{x_2}

奇点类型由雅可比矩阵在奇点处的迹与行列式判定：

\mathrm{tr}\,J = \lambda_1 + \lambda_2, \qquad \det J = \lambda_1 \lambda_2

$\det J < 0$ ：鞍点； $\det J > 0$ 且 $(\mathrm{tr}J)^2 - 4\det J < 0$ ：焦点/中心； $> 0$ ：结点。
$\mathrm{tr} J < 0$ 且 $\det J > 0$ ：稳定； $\mathrm{tr} J > 0$ ：不稳定。

Bendixson 判据：若在某单连通域内 $\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} + \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}$ 不变号且不恒为零，则该域内无闭轨。

Lie 导数：

L_f h = \frac{\partial h}{\partial x} f, \qquad L_f^{\,k} h = L_f (L_f^{\,k-1} h), \qquad L_g L_f^{\,k} h = \frac{\partial (L_f^{\,k} h)}{\partial x} g

相对阶 $r$ 由下式首次出现的非零项确定：

L_g L_f^{\,r-1} h(x) \neq 0, \qquad L_g L_f^{\,i} h = 0 \;\;(i < r-1)

取新输入 $v$ ：

u = \frac{1}{L_g L_f^{\,r-1} h}\left( v - L_f^{\,r} h \right) \;\Rightarrow\; y^{(r)} = v

误差 $e = x - x_d$ ，定义滑模面

s = e^{(n-1)} + c_{n-2} e^{(n-2)} + \cdots + c_0 e = 0

到达条件（Lyapunov 形式 $V = \tfrac{1}{2}s^2$ ）：

s\dot{s} \leq -\eta \| s \|, \qquad \eta > 0

常用控制律（ $\hat{u}$ 为标称等效控制）：

u = \hat{u} + k\,\mathrm{sgn}(s), \qquad k > 0

为削弱抖振可用边界层饱和函数 $k\,\mathrm{sat}(s/\Phi)$ 。

参数化模型 $y = \phi^{\top} \theta$ ，参数估计律

\dot{\hat{\theta}} = \Gamma\, \phi\, e, \qquad \Gamma = \Gamma^{\top} > 0

无源性（passivity）：若

V(x_T) - V(x_0) \leq \int_{0}^{T} u^{\top} y \, dt

则系统无源，配合反馈 $u = -\phi(y)$ 可以证明闭环稳定。

两个子系统满足有限增益 $\gamma_1, \gamma_2$ ：

\| y_1 \| \leq \gamma_1 \| e_1 \|, \qquad \| y_2 \| \leq \gamma_2 \| e_2 \|

若

\gamma_1 \gamma_2 < 1

则反馈互联系统输入输出稳定（ $\mathcal{L}_p$ 稳定）。

\dot{x} = \sigma (y - x), \qquad \dot{y} = x(\rho - z) - y, \qquad \dot{z} = xy - \beta z

典型参数 $\sigma = 10$ 、 $\rho = 28$ 、 $\beta = 8/3$ 时出现奇异吸引子；参数 $(\sigma,\beta)$ 固定、 $\rho$ 变化时在 $\rho \approx 24.74$ 附近发生 Hopf 分岔。